Conexão = "DRIVER={MySQL ODBC 3.51 Driver};SERVER=127.0.0.1;DATABASE=Mydb;UID=root;PWD=''; OPTION=35"
A string de conexão está ok, quanto ao outro PC , você tem que verificar o IP, pois a conexão é via ip, ou o nome do computador.
Também verifique se você instalou o Drive ODBC que é MYODBC que você encontra no próprio site do mysql.
Tem que ter o drive em todas as máquinas.